Sigma-algebra alebo
-algebra je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.
-algebra je usporiadaná dvojica
, kde
je ľubovoľná množina a
, pričom platí:
,
- ak
, potom aj
,
- ak
je postupnosť množín z
, potom
.
(
je zápis pre potenčnú množinu množiny
.)
Keďže triviálna
-algebra (v ktorej
) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou
).
Na
-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.
- najjednoduchšia
-algebra nad ľubovoľnou množinou
:
,
,
, kde
je ľubovoľná nespočítateľná množina a
je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
- Borelova
-algebra (
-algebra borelovských množín) je
-algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.
Nie je ťažké ukázať, že každá
-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú
-algebru
platia nasledujúce tvrdenia:
- ak
, potom
,
- ak
, potom
,
- ak
, potom
.
Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá
-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.
Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik
-algebier (teda
pre
-algebry
a
) je znova
-algebra.
Ak máme danú nejakú množinu
, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou
nemusia tvoriť
-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia
-algebra obsahujúca celú množinu
.
Formálne, nech je daná (neprázdna) množina
a množina
. Nech
(teda
je prienik všetkých systémov
podmnožín množiny
, ktoré obsahujú
, a súčasne
je
-algebra). Potom hovoríme, že
-algebra
je
-algebra generovaná množinou (systémom množín)
.
Významným príkladom
-algebry generovanej množinou je
-algebra borelovských množín.