Komplexná analýza

Vizualizácia komplexnej funkcie f(x)=(x²-1)(x-2-i)²/(x²+2+2i). Odtieň je daný argumentom a jas absolútnou hodnotou funkčnej hodnoty v danom bode komplexnej roviny.

Komplexná analýza alebo teória funkcií komplexnej premennej alebo teória funkcií je oblasť matematiky (presnejšie matematickej analýzy), ktorá študuje funkcie definované v obore komplexných čísel. Komplexná analýza má praktické použitie vo viacerých oblastiach matematiky, napríklad v teórii čísel a aplikovanej matematike, ale aj vo fyzike.

Zvláštnym predmetom záujmu komplexnej analýzy sú analytické funkcie komplexnej premennej (alebo, všeobecnejšie, meromorfné funkcie). Keďže reálna aj imaginárna zložka ľubovoľnej analytickej funkcie vyhovuje Laplaceovej rovnici, je komplexná analýza aplikovateľná na dvojrozmerné problémy vo fyzike.

Dejiny

Mandelbrotova množina, príklad komplexného fraktálu

Komplexná analýza je jedným z klasických odvetví matematiky s koreňmi v 19. storočí a neskoršom 18. storočí. Pri jej vzniku a formovaní zohrávali rozhodujúcu úlohu mená ako Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann, Augustin Louis Cauchy, či Karl Weierstrass. Komplexná analýza, a najmä teória konformných zobrazení bola vždy známa množstvom praktických aplikácií vo fyzike, ale aj analytickej teórii čísel. V súčasnosti sa komplexná analýza stala značne populárnou najmä vďaka vzniku komplexnej dynamiky a počítačových vizualizácií komplexných fraktálov, ktoré vzniknú iteráciou holomorfných funkcií. Najznámejším príkladom komplexného fraktálu je Mandelbrotova množina. Medzi moderné aplikácie komplexnej analýzy patrí jej použitie v teórii strún.

Komplexné funkcie

Komplexná funkcia je funkcia, v ktorých sú aj nezávislá, aj závislá premenná komplexné čísla. Presnejšie, komplexná funkcia je funkcia, ktorej definičný obor Ω je podmnožinou roviny komplexných čísel, a taktiež aj jej obor hodnôt je podmnožinou roviny komplexných čísel.

Nezávislá, ako aj závislá premenná ľubovoľnej komplexnej funkcie môže byť rozdelená na reálnu a imaginárnu zložku nasledovne:

$z=x+iy\,$ a

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

kde $x,y\in \mathbb {R} \,$ a $u(x,y),v(x,y)\,$ sú reálne funkcie.

Inými slovami, komponenty funkcie f(z),

$u=u(x,y)\,$ a

$v=v(x,y),\,$

môžu byť interpretované ako dve reálne funkcie dvoch reálnych premenných, x a y.

Základné koncepty komplexnej analýzy sa často zavádzajú ako zovšeobecnenia elementárnych reálnych funkcií, ako napríklad exponenciálnych funkcií, logaritmov, či goniometrických funkcií do oboru komplexných čísel.

Zdroj

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Complex Analysis na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy

• Učebnica komplexnej analýzy (George Cain: Complex Analysis) (po anglicky)
• Stránka kurzu komplexnej analýzy (autor: Douglas N. Arnold) (po anglicky)