Wronského determinant

Wronského determinant alebo Wronskián je matematická funkcia definovaná pomocou determinantu, pomenovaná podľa poľského matematika Józefa Hoene-Wrońského. Používa sa najmä v teórii obyčajných diferenciálnych rovníc, na vyšetrenie lineárnej nezávislosti množiny funkcií.

Definícia

Majme n reálnych, prípadne komplexných funkcií f₁, ..., f_n, ktoré sú na intervale I n − 1 krát diferencovateľné. Potom je Wronského determinant W(f₁, ..., f_n) definovaný ako funkcia na I nasledovne:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I.$

Inými slovami, je to determinant matice skonštruovanej tak, že prvý riadok tvoria funkcie f₁, ..., f_n, druhý riadok ich prvé derivácie, atď. a posledný riadok tvoria n - 1 - te derivácie týchto funkcií. Takáto štvorcová matica sa niekedy nazýva aj fundamentálna matica.

Použitie pri vyšetrovaní lineárnej závislosti

Hlavná aplikácia Wronského determinantov je ich použitie na vyšetrovanie lineárnej nezávislosti funkcií f₁, ..., f_n. Pri tom sa využíva nasledujúca vlastnosť Wronského determinantov:

Nech f₁, ..., f_n sú reálne (komplexné) funkcie, n − 1 krát diferencovateľné na intervale I. Potom, ak existuje $x_{0}\in I$ také, že $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x_{0})\neq 0$, tak funkcie f₁, ..., f_n sú lineárne nezávislé.

V praxi sa táto vlastnosť využíva najmä na overovanie lineárnej nezávislosti partikulárnych riešení obyčajných diferenciálnych rovníc, keďže práve na základe n lineárne nezávislých partikulárnych riešení sa dá určiť všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n-tého rádu.

Dôležité je tiež uvedomiť si, že uvedená veta je len jednostranná implikácia. Pokiaľ je Wronského determinant nulový na celom intervale, dané funkcie síce nemusia, ale môžu byť lineárne nezávislé.

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wronskian na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy

• Článok o Wronského determinante - PlanetMath (po anglicky)
• Definícia Wronského determinantu - Wolfram MathWorld (po anglicky)