Determinant (matematika)
Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.
Značenie
[upraviť | upraviť zdroj]Determinant matice značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky nasledovným spôsobom:
V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov matice používame nasledujúce značenie:
- ,
Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:
- .
Definícia determinantu
[upraviť | upraviť zdroj]Všeobecná definícia
[upraviť | upraviť zdroj]Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu rozmeru definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):
Znak znamená sumu cez všetky permutácie čísel . Znakom označujeme znamienko permutácie . Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel sa v Leibnitzovej formule vyskytuje sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.
Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu :
Špeciálny prípad
[upraviť | upraviť zdroj]Matica rádu 1
[upraviť | upraviť zdroj]Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla . Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:
Matica rádu 2
[upraviť | upraviť zdroj]Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:
Matica rádu 3
[upraviť | upraviť zdroj]Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:
Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.
Výpočet determinantu
[upraviť | upraviť zdroj]Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.
Sarrusovo pravidlo
[upraviť | upraviť zdroj]Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.
Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.
Názorná schéma:
Teda:
Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca
[upraviť | upraviť zdroj]Majme štvorcovú maticu . Potom pre každé existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:
pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:
pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.
Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu
[upraviť | upraviť zdroj]Nech je daná matica . Pevne zvoľme čísla (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: .
Potom:
kde:
- je podmatica matice typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami a stĺpcov s indexami (pričom platí: ).
- je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami a stĺpcov s indexami
- Algebrický doplnok determinantu je prvok takéhoto tvaru:
Základné vlastnosti determinantov
[upraviť | upraviť zdroj]- Pre každú štvorcovú maticu platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda
- Ak matica B vznikne z matice vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda
- Nech je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každé existuje algebrický doplnok a má tvar:
pričom je štvorcová matica typu , ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.
- Ak matica () má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:
- Ak matica B vznikne z matice tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme , tak:
- Nech sú dané dve matice: , . Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré , tak potom platí:
- Ak je v matici aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:
- Majme maticu , (). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním -násobku () hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:
Pozri aj
[upraviť | upraviť zdroj]Iné projekty
[upraviť | upraviť zdroj]- Commons ponúka multimediálne súbory na tému Determinant (matematika)
Literatúra
[upraviť | upraviť zdroj]- KORBAŠ, Július. Lineárna algebra a geometria I. [s.l.] : Vydavateľstvo U, Univerzita Komenského v Bratislave, Prvé vydanie, 2003.
Externé odkazy
[upraviť | upraviť zdroj]- Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8
- Determinant (matematika)