Sústava lineárnych rovníc

Lineárny systém s troma premennými definovanými ako roviny. Riešenie systému je prienik rovín (bod).

V matematike a v lineárnej algebre sa ako Sústava lineárnych rovníc označuje množina lineárnych rovníc. Napríklad

$3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1\,\!$

$2x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=-2\,\!$

$-x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0\,\!$

Úlohou pri riešení je nájsť také hodnoty x₁, x₂ a x₃ pre ktoré platia všetky rovnice zároveň.

Použitie

Riešenie sústav lineárnych rovníc patrí v matematike k najstarším problémom a má veľa aplikácii, napríklad pri odhadovaní, v predpovediach a v lineárnom programovaní.

Zápis

Všeobecne môže byť sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi zapísaná ako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

    :

    :

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde premenné x₁, … ,x_n sú premenné a a_ij sú koeficienty sústavy rovníc. Čísla $b_{i}$, kde $i=1,2,...,m$, sú absolútne členy sústavy (alebo tiež tzv. pravá strana sústavy). Vo všeobecnosti môžu byť koeficienty aj absolútne členy komplexnými číslami.

Koeficenty je možné zapísať v tvare matice:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Túto maticu označujeme ako "maticu sústavy"

Premenné a pravú stranu sústavy je možné vyjadriť ako vektory

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

Celú sústavu rovníc je možné vyjadriť ako

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

alebo skrátene v maticovom zápise:

$\mathbf {A} \cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$

prípadne pomocou notácie podľa sumy:

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}$

pre $i=1,2,...,m$.

Metódy riešenia

• Gaussova eliminačná metóda
• Cramerovo pravidlo
• Pomocou Inverznej matice
• Metóda najmenších štvorcov
• LU rozklad
• Choleského rozklad

Súvisiace články

• Sústava rovníc
• Rovnice

Externé odkazy

• Online výpočet sústavy lineárnych rovníc

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Soustava lineárních rovnic na českej Wikipédii.

Matematický portál