Matica (matematika)

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má $m$ riadkov a $n$ stĺpcov, hovorí sa o matici typu $m$ krát $n$. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny $A$ hovorí sa o matici nad množinou $A$. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

${\begin{pmatrix}3&0&-6&4&11\\6&-1&4&1&13\\\end{pmatrix}}.$

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako $a_{ij}$, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou $\{0,1\}$ sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Skalárne násobenie

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

$\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[m,j]$

pre každé i a j.

Napríklad:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

${\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\times 1+1\times -1)&(3\times 0+1\times 3)&(3\times 2+1\times 1)\\(2\times 1+1\times -1)&(2\times 0+1\times 3)&(2\times 2+1\times 1)\\(1\times 1+0\times -1)&(1\times 0+0\times 3)&(1\times 2+0\times 1)\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\\\end{bmatrix}}$

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.

${\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&2\\0&0\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne,

$A(BC)=(AB)C.$

Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda

$A(B+C)=AB+AC\qquad {\text{a}}\qquad (B+C)A=BA+CA$

(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar

Matice A a B sú riadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme $A\approx B$), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:

1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

$\approx$ je reláciou ekvivalencie. Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:

• ak $a_{ij}$ a $a_{st}$ sú vedúce prvky A a $i<s$, tak potom nutne $j<t$
• nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

• vedúci prvok každého riadku je 1
• ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice

Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)
• Operácie s maticami