Ortonormálna báza

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory

Nech $V$ je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, ktorý indukuje normu: $\|\cdot \|$. Pod ortonormálnou bázou priestoru $V$ potom rozumieme bázu $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ z $V$ s týmito vlastnosťami:

• $\|b_{i}\|=1$ pre všetky $i\in \{1,\ldots ,n\}$.
• $\langle b_{i},b_{j}\rangle =0$ pre všetky $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ s $i\neq j$.

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru $\mathbb {R} ^{3}$ (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

${\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru $V$ nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom $S$ vo $V$ taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo $V$.

Úplný ortonormálny systém $S$ má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok $v\in V$ môžeme písať fourierov rozvoj:

$v=\sum _{u\in S}\langle v,u\rangle u$.

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok $v$ sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z $S$), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z $S$, teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru $V$, leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj

• Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces