Vektorový priestor

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému $c\in F$, $\alpha \in V$ priradený prvok $c.a\in V$, pričom:

1) $(V,+)$ je komutatívna grupa

pre ľubovoľné $\alpha$, $\beta$ $\in$ V a c,d $\in$ F platí:

2) $c.(\alpha +\beta )=c.\alpha +c.\beta$ (distributívny zákon)

3) $(c+d).\alpha =c.\alpha +d.\alpha$

4) $(c.d).\alpha =c(d.\alpha )$ (asociativita)

5) $1.\alpha =\alpha$

potom $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$.

Vektorové priestory vo fyzike

Bra-Ket formalizmus

Vektory $\mid \alpha _{i}\rangle$ tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

$\sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty $\lambda _{i}$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

$\sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle \rightarrow \sum _{i}\langle \alpha _{i}\mid \lambda _{i}^{*}$,

kde hviezdička $*$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory $\mid \alpha _{i}\rangle$ vlnové funkcie $\phi _{i}$ a bra-vektory $\langle \alpha _{i}\mid$ sú komplexne združené vlnové funkcie $\psi _{i}^{*}$. Skalárny súčin

$\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor $\mid \alpha \rangle$ a bra-vektor $\langle \alpha ^{'}\mid$. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

$\langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}$.

Dôsledkom toho je, že $\langle \alpha \mid \alpha \rangle$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

$\langle \alpha \mid \alpha \rangle >0$.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že $\langle \alpha \mid \alpha \rangle$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru $\mid \alpha \rangle$. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

$\int \psi ^{'*}\psi ,dx$, ktorý má zjavne vlastnosť $\langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}$, rovnako ako

$\int \psi ^{*}\psi ,dx$ má vlastnosť $\langle \alpha \mid \alpha \rangle >0$, pretože $\psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že $\mid \alpha \rangle$ a $\lambda \mid \alpha \rangle$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo $\lambda$.

Pozri aj

• Vektor (matematika)
• Vektorový podpriestor