Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou determinantov. Je pomenované po švajčiarskom matematikovi Gabrielovi Cramerovi, ktorý ju publikoval v roku 1750.

Definícia

Cramerovo pravidlo poskytuje vzorec na riešenie sústavy lineárnych rovníc s neznámymi v tvare $Ax=b$, kde $A$ je matica sústavy, $x$ je vektor neznámych a $b$ je vektor pravých strán. Ak je determinant matice $A$ nenulový, potom má sústava jednoznačné riešenie dané vzorcom:

$x_{i}={\frac {det(A_{i})}{det(A)}};i=1,2,...,n$

kde $A_{i}$ je matica vzniknutá z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca vektorom $b$.

Príklad

Majme sústavu troch rovníc:

${\begin{cases}1x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=6\\4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=12\\7x_{1}+8x_{2}+7x_{3}=18\end{cases}}$

Prepis do tvaru $Ax=b$ teda bude vyzerať následovne:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6\\12\\18\end{bmatrix}}$

Determinant matice sústavy je $det(A)=6$. Kedže je determinant nenulový, pokračujeme nahradením prvého stĺpca vektorom pravých strán $b$:

$det(A_{1})={\begin{vmatrix}6&2&3\\12&5&6\\18&8&7\end{vmatrix}}=-12$

$x_{1}$ následovne vypočítame podielom determinantov:

$x_{1}={\frac {det(A_{1})}{det(A)}}={\frac {-12}{6}}=-2$

Podobne môžeme vypočítať $x_{2}$ a $x_{3}$:

$det(A_{2})={\begin{vmatrix}1&6&3\\4&12&6\\7&18&7\end{vmatrix}}=24$

$x_{2}={\frac {det(A_{2})}{det(A)}}={\frac {24}{6}}=4$

$det(A_{3})={\begin{vmatrix}1&2&6\\4&5&12\\7&8&18\end{vmatrix}}=0$

$x_{3}={\frac {det(A_{3})}{det(A)}}={\frac {0}{6}}=0$

Koreň tejto sústavy rovníc teda bude ${\begin{bmatrix}-2&4&0\end{bmatrix}}$.

Referencie

Matematický portál