Lineárny obal

Lineárny obal množiny vektorov vo vektorovom priestore je množina všetkých ich lineárnych kombinácií. Ak je daná podmnožina $S$ vektorového priestoru $V$, jej lineárny obal sa označuje ako $\operatorname {span} (S)$ alebo $\langle S\rangle$.

Definícia

Ak $S=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ je konečná množina vektorov vo $V$, potom:

$\operatorname {span} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} \right\}$

kde $\mathbb {K}$ je pole skalárov, nad ktorým je definovaný priestor $V$.

Vlastnosti

• Lineárny obal $S$ je vždy vektorový podpriestor $V$.
• Ak $S$ obsahuje bázu $V$, potom $\operatorname {span} (S)=V$.
• Najmenší podpriestor obsahujúci $S$ je práve $\operatorname {span} (S)$.

Príklady

• V Euklidovskom priestore $\mathbb {R} ^{2}$ množina dvoch lineárne nezávislých vektorov generuje celý priestor $\mathbb {R} ^{2}$.
• Ak $S$ obsahuje len jeden vektor $v\neq 0$, potom $\operatorname {span} (S)$ je priamka prechádzajúca bodom $v$ a nulovým vektorom.

Súvisiace pojmy

• Lineárna nezávislosť
• Báza (vektorový priestor)
• Vektorový priestor