Lineárna nezávislosť

Lineárna nezávislosť je v lineárnej algebre vlastnosť množiny vektorov, ktorá vyjadruje, že žiadny z vektorov v tejto množine nie je možné vyjadriť ako lineárnu kombináciu ostatných.

Motivácia

Predstavme si, že máme niekoľko vektorov v Euklidovskom priestore $\mathbb {R} ^{3}$. Ak jeden z vektorov možno vyjadriť ako súčet násobkov ostatných, znamená to, že neprináša novú informáciu – je nadbytočný. Napríklad, ak máme vektory

$v_{1}=(1,0,0),\quad v_{2}=(0,1,0),\quad v_{3}=(1,1,0)$

vidíme, že $v_{3}$ je súčtom $v_{1}$ a $v_{2}$:

$v_{3}=v_{1}+v_{2}.$

Preto tieto tri vektory nie sú lineárne nezávislé.

Definícia

Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb {K}$. Množina vektorov $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ vo $V$ sa nazýva lineárne závislá, ak existujú skaláre $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {F}$, z ktorých aspoň jeden je nenulový, také že:

$\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n}=0.$

Ak takáto nenulová kombinácia neexistuje, množina vektorov sa nazýva lineárne nezávislá. Ekvivalentne, vektory sú lineárne nezávislé, ak jediná možnosť, ako ich lineárna kombinácia dá nulový vektor, je, že všetky skaláre musia byť nuly:

$\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad \alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{n}=0.$

Príklady

• Vektory $(1,0)$ a $(0,1)$ v $\mathbb {R} ^{2}$ sú lineárne nezávislé, pretože ich jediná lineárna kombinácia, ktorá dá nulový vektor, je triviálna kombinácia s nulovými koeficientmi.
• Vektory $(1,2,3)$, $(2,4,6)$ a $(3,6,9)$ v $\mathbb {R} ^{3}$ sú lineárne závislé, pretože každý z nich je len násobkom iného.
• Ak máme viac vektorov, ako je dimenzia priestoru, sú vždy lineárne závislé (napr. štyri vektory v $\mathbb {R} ^{3}$).

Vlastnosti

• Každá podmnožina lineárne nezávislej množiny je tiež lineárne nezávislá.
• Počet vektorov v maximálnej lineárne nezávislej množine sa nazýva dimenzia priestoru.
• Lineárne nezávislé množiny tvoria základ pre bázy vektorových priestorov.

Súvisiace pojmy

• Lineárna kombinácia
• Báza (vektorový priestor)
• Hodnosť matice