Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie je v algebre matematické zobrazenie, priraďujúce ľubovoľnému vektoru (vzoru) z vektorového priestoru nový vektor (obraz) z iného alebo rovnakého vektorového priestoru, zachovávajúc operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku. V prípade zobrazenia nad rovnakým vektorovým priestorom sa operácia nazýva aj lineárna transformácia alebo lineárny operátor.

Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory $\mathbb {R} ^{2}$ prípadne $\mathbb {R} ^{3}$.

Formálna definícia

Nech $N,M$ sú vektorové priestory nad telesom $K$. Zobrazenie $\varphi :N\to M$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak $\varphi$ zachováva operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku, t. j. ak je splnené nasledovné:

${\begin{array}{ll}({\textrm {i}})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii}})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}}$

Príklad

Zobrazenie $\omega :\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x} +k;\;k\geq 1$ nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)

$\omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k$

$\omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k$

Tu ale neplatí $\omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\neq \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )$, pretože $\mathbf {x} +\mathbf {y} +k\neq \mathbf {x} +\mathbf {y} +2k$. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak $\varphi$ je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

$\varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} ;\;\mathbf {A} =\Vert a_{ij}\Vert _{m,n}$

Vektor $\mathbf {x}$ je chápaný ako matica $\mathbf {x} =\Vert x_{i}\Vert _{m,1}$. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice $\mathbf {A}$ je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) $\mathbf {x}$. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu $m,1$. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

$\varphi (e_{k})=\mathbf {A} \cdot e_{k}=a_{k}$

kde vektor $e_{k}$ je k-ty jednotkový vektor a $a_{k}$ je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu $\mathbf {A}$ lineárneho zobrazenia $\varphi$, ktoré ku každému vektoru $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}$ priradí jeho $\lambda$-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

$\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y}$

$\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y}$

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

$\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x}$

$\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x}$

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ ortonormálnej bázy priestoru $\mathbb {R} ^{2}$, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj $\lambda$-násobok, teda

$\mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\end{array}}\right)$

$\mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\lambda \end{array}}\right)$

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

$\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)_{2\times 2}$

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru $\mathbb {R} ^{2}$ dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia $\varphi$ je jeho $\lambda$-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

$\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\varphi (\mathbf {x} )$

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení

Zobrazenie	Matica zobrazenia
$\lambda$-násobok vektora	$\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)$
rotácia roviny o uhol $\gamma$	$\left({\begin{array}{cc}\cos \gamma &-\sin \gamma \\\sin \gamma &\cos \gamma \end{array}}\right)$
osová súmernosť podľa osi x	$\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$
osová súmernosť podľa osi y	$\left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}}\right)$
kolmá projekcia na os x	$\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$

Základná veta o lineárnych zobrazeniach

Nech $\alpha _{1},...,\alpha _{m}$ je ľubovolná báza vektorového priestoru $V(F)$ a nech $\beta _{1},...,\beta _{m}$ sú ľubovolné vektory priestoru $W(F)$. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie $\varphi :V(F)\to W(F)$ pre ktoré platí: $\varphi (\alpha _{1})=\beta _{1}$ , $\varphi (\alpha _{2})=\beta _{2}$ , ... , $\varphi (\alpha _{m})=\beta _{m}$

Literatúra

• CHALMOVIANSKÝ, Pavel. Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov : (pracovná verzia). Bratislava : Univerzita Komenského : Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2010. 61 s. [Cit. 2025-02-09]. Dostupné online. S. 2 – 5.
• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria : Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : [s.n.], 2011. 808 s. [Cit. 2025-02-09]. Dostupné online. S. 122 – 139.