Jadro (lineárna algebra)

V lineárnej algebre sa jadro (nazývané aj nulový priestor) lineárneho zobrazenia $f:V\rightarrow W$ definuje ako množina všetkých vektorov $v\in V$ ktoré sa zobrazia na nulový vektor v priestore $W$, teda:

$ker(f)=\lbrace f({\vec {v}})={\vec {0}};v\in V\rbrace$

Vlastnosti

1. Jadro je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru transformácie
2. Lineárna transformácia je injektívna práve vtedy, keď $ker(f)=\lbrace {\vec {0}}\rbrace$
3. Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita) a platí vzťah medzi dimenziami:$dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))$

Príklad

Majme lineárne zobrazenie $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ dané maticou $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$. Jadro zobrazenia $f$ je riešením homogénnej sústavy rovíc $Ax=0$ t.j:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$.

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

${\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=0\end{cases}}$

Riešením tejto sústavy je $ker(f)=\lbrace [1,-2,1]^{T}\rbrace$ , teda jadro je jednodimenzionálny podpriestor generovaný vektorom $[1,-2,1]^{T}$.

Referencie

Matematický portál